Binom Dağılımı Hesaplama aracı; sabit sayıdaki bağımsız denemede tam olarak, en fazla, en az veya belirli bir aralıkta başarı elde etme olasılığını hesaplar. Deneme sayısı, her denemedeki başarı olasılığı ve hedef başarı sayısını girerek ondalık ve yüzde sonucu; beklenen başarı, varyans ve standart sapmayla birlikte görebilirsiniz.
Binom Dağılımı Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
- Olasılık Türü alanından P(X=k), P(X≤k), P(X≥k) veya P(a≤X≤b) seçeneğini belirleyin.
- Deneme Sayısı — n alanına toplam deneme adedini yazın.
- Her denemedeki başarı olasılığını yüzde olarak girin. Örneğin p = 0,30 için 30 yazın.
- Hedef başarı sayısını k alanına; aralık hesabında alt ve üst sınırları ilgili alanlara girin.
- Olasılığı Hesapla düğmesine basıp yüzde, ondalık ve tamamlayıcı olasılığı inceleyin.
Binom Dağılımı Ne Zaman Kullanılır?
Bir deneyin binom modeliyle hesaplanabilmesi için deneme sayısı önceden sabit olmalı, her denemenin yalnız iki sonucu bulunmalı, başarı olasılığı bütün denemelerde aynı kalmalı ve denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır. “Başarı” yalnız ilgilenilen olaya verilen addır; olumlu bir sonuç olmak zorunda değildir.
Örneğin aynı hata oranıyla bağımsız üretilen ürünlerde kusurlu ürün sayısı veya bağımsız cevaplarda doğru cevap sayısı binom modele yaklaşabilir. Kart çekme gibi yerine koymadan yapılan seçimlerde başarı olasılığı her adımda değiştiği için klasik binom varsayımı genellikle sağlanmaz.
Binom Dağılımı Formülü
Tam olarak k başarı olasılığı:
P(X=k) = C(n,k) × pk × (1−p)n−k
Burada n deneme sayısı, k başarı sayısı, p tek denemedeki başarı olasılığı ve C(n,k) başarıların n deneme içindeki farklı yerleşim sayısıdır.
Tam Olarak k Başarı Hesaplama Örneği
10 bağımsız denemenin her birinde başarı olasılığı %30 olsun. Tam olarak 3 başarı olasılığı:
P(X=3) = C(10,3) × 0,30³ × 0,70⁷
C(10,3) = 120 olduğundan sonuç 0,266827932, yüzde olarak yaklaşık %26,6827932 olur. Tamamlayıcı olasılık %73,3172068’dir; bu değer X=3 dışındaki bütün sonuçların toplamıdır.
En Fazla k Başarı Nasıl Hesaplanır?
“En fazla k”, 0’dan k’ya kadar bütün başarı sayılarının olasılıklarını kapsar:
P(X≤k) = Σi=0k C(n,i) × pi × (1−p)n−i
“En fazla 3 başarı” ifadesine 0, 1, 2 ve 3 başarı dahildir. Yalnız P(X=3) değerini kullanmak eksik sonuç verir.
En Az k Başarı Nasıl Hesaplanır?
“En az k”, k’dan n’e kadar bütün olasılıkların toplamıdır. Tamamlayıcı yöntem genellikle daha pratiktir:
P(X≥k) = 1 − P(X≤k−1)
Örneğin en az 3 başarı; 3, 4, …, n başarılarını kapsar ve 0, 1, 2 başarı olasılıklarının toplamı 1’den çıkarılarak bulunabilir.
a ile b Arasında Başarı Olasılığı
Alt ve üst sınırlar dahil olmak üzere:
P(a≤X≤b) = Σi=ab C(n,i) × pi × (1−p)n−i
Aralık modunda a ve b tam sayı olmalı; 0 ≤ a ≤ b ≤ n koşulu sağlanmalıdır. “2 ile 5 arasında” ifadesine 2 ve 5 de dahildir.
Beklenen Değer, Varyans ve Standart Sapma
Beklenen başarı sayısı: E(X) = n × p
Varyans: Var(X) = n × p × (1−p)
Standart sapma: σ = √[n × p × (1−p)]
n=10 ve p=0,30 örneğinde beklenen başarı 3, varyans 2,1 ve standart sapma yaklaşık 1,449138’dir. Beklenen değer tek deneyde kesin olarak 3 başarı oluşacağı anlamına gelmez; aynı deney çok kez tekrarlandığında uzun dönem ortalamasını ifade eder.
Sonuç Ekranı Nasıl Yorumlanır?
- Ondalık olasılık: 0 ile 1 arasındaki sonuçtur.
- Yüzde olasılık: Aynı değerin 100 ile çarpılmış biçimidir.
- Tamamlayıcı olasılık: Seçilen olayın gerçekleşmemesi olasılığıdır ve 1−P(A) ile bulunur.
- Beklenen başarı: n×p uzun dönem ortalamasıdır.
- Varyans ve standart sapma: Başarı sayısının beklenen değer çevresindeki yayılımını gösterir.
Başarı Olasılığı Yüzde mi Ondalık mı Girilir?
Araç başarı olasılığını yüzde olarak ister. %30 için alana 30 girilir; formülde bu değer 0,30 olarak kullanılır. 0,30 yazmak %0,30 anlamına gelebileceği için alan etiketini kontrol edin. Olasılık 0 ile 100 arasında olmalıdır.
Bağımsız Deneme Ne Demektir?
Bir denemenin sonucu sonraki denemenin başarı olasılığını değiştirmiyorsa denemeler bağımsız kabul edilir. Yerine koymadan yapılan örnekleme, stok azalması, öğrenme etkisi veya birbirini etkileyen kişiler bağımsızlık varsayımını bozabilir. Böyle durumlarda hipergeometrik dağılım veya başka bir model gerekebilir.
Binom Dağılımı ile Kombinasyon Arasındaki İlişki
C(n,k), k başarının n deneme içinde kaç farklı sırada ortaya çıkabileceğini sayar. pk(1−p)n−k belirli bir sıralamanın olasılığıdır. Bu iki değer çarpıldığında bütün uygun başarı–başarısızlık dizilerinin toplam olasılığı elde edilir.
Binom Dağılımının Günlük Kullanım Örnekleri
- Belirli sayıda üründe hedeflenen kusurlu ürün adedinin olasılığı
- Bağımsız sorularda doğru cevap sayısı
- Sabit dönüşüm olasılığı varsayımıyla belirli ziyaretçi sayısında satış adedi
- Bağımsız atışlarda isabet sayısı
- Her denemede aynı gerçekleşme olasılığı bulunan olay sayısı
Gerçek veride p’nin zamanla veya kişiyle değişmesi sonuçları etkiler. Model kullanılmadan önce sabit olasılık ve bağımsızlık varsayımları kontrol edilmelidir.
Hesaplamanın Sınırları ve Varsayımları
- Deneme sayısı en fazla 10.000 olabilir.
- n, k, a ve b negatif olmayan tam sayı olmalıdır.
- Başarı olasılığı tüm denemelerde sabit kabul edilir.
- Denemelerin birbirinden bağımsız ve iki sonuçlu olduğu varsayılır.
- Aralık sınırları dahil edilir ve 0 ile n arasında olmalıdır.
- Yuvarlanan yüzde gösterimi çok küçük olasılıkları sıfıra yakın gösterebilir.
- Model uygunluğu, örneklem tasarımı ve tahmin edilen p değerinin belirsizliği otomatik değerlendirilmez.
Hesaplama Kaynakları
- NIST/SEMATECH – Binomial Distribution
- NIST Dataplot – Binom Kümülatif Dağılım Fonksiyonu
- NIST Dataplot – Binom Olasılık Kütle Fonksiyonu
İlgili Hesaplayıcılar
İlgili Rehberler
Olasılık ve istatistik konularındaki diğer açıklamalar için hesaplama rehberlerini inceleyebilirsiniz.
Son güncelleme: 20 Ağustos 2026.